Rechnen - Rechenarten (z.B. die Grundrechenarten) kurz erklärt

Das Rechnen zählt zu den schulischen Grundfertigkeiten. Bereits in der Grundschule erhalten wir eine Einführung in die vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Im Laufe der Jahre entwickeln wir individuelle Vorstellungen und Strategien, nach denen wir vor allem beim Kopfrechnen vorgehen. Weniger bewusst machen wir uns dagegen, was überhaupt hinter den Rechenarten steckt. Lesen Sie über das Rechnen und insbesondere die Merkmale der Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Von Kai Zielke

Merkmale der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division — © Tobias Kaltenbach - www.fotolia.de

Rechnen: eine Definition

Mit Rechnen ist die logische Verknüpfung von bestimmten Objekten - in erster Linie Zahlen im Bereich der Mathematik - gemeint. Der Umgang mit Zahlen wird bereits ab der ersten Schulklasse der Grundschule gelehrt. Das Rechnen zählt wie das Schreiben und das Lesen zu den Grundfertigkeiten der Bildung.

Das entsprechende Regelwerk für das Rechnen mit Zahlen trägt die Bezeichnung Arithmetik. Üblicherweise meint man damit besonders die vier Grundrechenarten bzw. den Umgang mit diesen.

Zum Rechnen kann man sich unterschiedliche Rechenhilfsmittel zunutze machen, wie etwa einen Rechenschieber oder in der heutigen Zeit besonders den Taschenrechner. Doch auch die Finger sind mögliche Hilfsmittel, ebenso das Erstellen von detaillierten Darstellungen. Zudem ist das gedankliche Rechnen möglich; in diesem Fall spricht man von Kopfrechnen.

Die Grundrechenarten

Bei den Grundrechenarten handelt es sich um die vier rechnerischen Vorgänge bei der

Addition
Subtraktion
Multiplikation und
Division.

Sie zählen zu den Grundfertigkeiten (Rechnen, Schreiben und Lesen) und werden während der Schulzeit erworben. Zunächst wird in der Grundschule mit kleinen natürlichen Zahlen gerechnet; es folgt eine Erweiterung auf große Zahlen. Zudem zählen zu den Unterrichtsinhalten

das kleine Einmaleins
das Lösen von einfachen Gleichungen
das Dividieren mit Rest sowie
der Dreisatz.

Dabei kommen

Kopfrechnen
schriftliches Rechnen
Anwendungen auf Basis von Textaufgaben sowie
Überschlagrechnen

zur Anwendung. Im Laufe der Schulzeit - zu Beginn der Sekundarstufe I - folgen weitere Rechnungsverfahren sowie die Betrachtung von negativen Zahlen.

Addition und Subtraktion werden als Grund-, Multiplikation und Division als abgeleitete Operationen bezeichnet. Vor allem bei den Grundoperationen gibt es einige Rechenregeln, die angewandt werden.

Im Folgenden gehen wir etwas genauer auf die Grundrechenarten ein.

Die Addition

Die Addition wird in der Umgangssprache auch als Plus-Rechnen oder auch Und-Rechnen bezeichnet. Als Basis gilt das Zählen. Das entsprechende Rechenzeichen ist ein Pluszeichen, also das "+". Zählt man beispielsweise 3 und 4 zusammen, so würde die Aufgabe lauten: 3 + 4 = 7 (gelesen: "drei plus vier (ist) gleich sieben").

In dem Wort "Addition" steckt das lateinische Verb "addere", was "hinzufügen" bedeutet. Wird etwas zu einer Ausgangsmenge hinzugefügt, vergrößert diese sich.

Bei der Addition handelt es sich also um eine Rechenart, bei der das Ergebnis stets größer als die einzelnen Teilmengen ist. Die Zahlen, die miteinander addiert werden, bezeichnet man als Summanden, das Ergebnis als Summe.

Für das Ergebnis ist es nicht relevant, in welcher Reihenfolge die Summanden stehen. Es gilt also die Kommutativität. Die Addition gilt als die Rechenoperation, die am leichtesten zu verstehen ist und wird in der Schule daher als erste gelehrt.

Die Subtraktion

Die Subtraktion als Umkehroperation der Addition hat ihren Namen vom lateinischen Wort "subtrahere", was mit "abziehen" übersetzt wird. Man bezeichnet sie auch als Minus-Rechnen. Hierbei handelt es sich also um eine Rechenart, bei der das Ergebnis kleiner ist als die Ausgangsmenge.

Diese wird als Minuend bezeichnet, die Zahl, die abgezogen wird, als Subtrahend und die Endmenge als Differenz. Bei der Subtraktion gilt die Kommutativität nicht, die Reihenfolge der Zahlen ist also nicht beliebig.

Das Rechenzeichen der Subtraktion ist das Minuszeichen, also "-". Ein Beispiel: 4 - 3 = 1 (gelesen: "vier minus drei (ist) gleich 1"); es kann aber auch zu negativen Ergebnissen kommen: 3 - 4 = -1.

Die Multiplikation

Die Multiplikation - oder auch das Malnehmen - leitet sich vom lateinischen Verb "multiplicare" ab und kann daher als Vervielfachung umschrieben werden. Werden zwei Faktoren miteinander multipliziert, erhält man ein Produkt, welches immer ein Vielfaches eines Faktors ist.

Es existieren zwei gängige Grundvorstellungen der Multiplikation: Zum einen kann diese Rechenoperation als wiederholte Addition betrachtet werden. Auf der anderen Seite spielt aber auch der kombinatorische Aspekt eine Rolle. Wie bei der Addition können die Faktoren ohne Auswirkung auf das Ergebnis vertauscht werden.

Das Rechenzeichen der Multiplikation ist das Malzeichen, ein "x" oder ein "·". Ein Beispiel: 3 x 4 = 12 (gelesen: "drei mal vier (ist) gleich 12").

Die Division

Bei der Division wird eine Zahl durch eine andere geteilt, wobei entweder ein glattes Ergebnis oder ein Ergebnis mit Rest entsteht. Die Ausgangszahl bei der Division wird als Dividend und der Teiler als Divisor bezeichnet.

Das Ergebnis ist der Quotient. Als Grundvorstellungen existieren hier das Aufteilen und das Verteilen.

Man bezeichnet die Division auch als Teilen. Das Rechenzeichen ist das Geteiltzeichen, dargestellt durch ein ":", ein "÷" oder ein "/". Ein Beispiel: 9 : 3 = 3 (gelesen: "neun (geteilt) durch drei (ist) = drei.).

Weitere Rechenarten

Neben den vier Grundrechenarten zählen noch weitere Formen zur Arithmetik. Bei der Bruchrechnung gibt es Regeln mit Bezug auf die Grudnrechenarten. Das Prinzip basiert auf der Aussage, dass man das Ganze noch unterteilen kann. Als beliebtes Beispiel gilt die Torte, die man in vier gleich große Teile teilt - jedes davon wird in dem Fall als ein Viertel bezeichnet.

Bei der Bruchrechnung gilt die so genannte Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise. In dem besagten Beispiel wäre dies etwa 4/4 (gelesen: "vier viertel". Dabei ist die Zahl unter dem Bruchstrich der Nenner, welcher die Anzahl der Teile, in die das Ganze geteilt worden ist. Die Zahl über dem Bruchstrich ist der Zähler, er steht für die Anzahl der in diesem Fall gemeinten Teile.

Zu den weiteren Rechenarten zählt das Wurzelziehen. Hierbei wird eine Unbekannte x in der so genannten Potenz bestimmt. Beim Potenzieren wiederum wird ein Faktor wiederholt multipliziert, und zwar mit sich selbst. Die zu multiplizierende Zahl wird als Basis bezeichnet.

Passend zum Thema